Calcule a integral indefinida.
\int \cos ^{4} \theta \operatorname{sen} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \cos^{4}\theta \,\operatorname{sen}\theta\,d\theta.
O conteúdo aqui é integração por substituição: reconhecemos que a derivada de \cos\theta está presente como \operatorname{sen}\theta\,d\theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos\theta
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du = -\operatorname{sen}\theta\,d\theta
ou seja
\operatorname{sen}\theta\,d\theta = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \cos^{4}\theta\,\operatorname{sen}\theta\,d\theta = \int u^{4}\,(-\,du) = -\int u^{4}\,du.

Passo 4

Agora calculamos a antiderivada em u:
-\int u^{4}\,du = -\frac{u^{5}}{5} + C.

Passo 5

Voltando à variável original \theta, substituímos u=\cos\theta:
-\frac{u^{5}}{5} + C = -\frac{\cos^{5}\theta}{5} + C.

Resposta

\boxed{-\frac{\cos^{5}\theta}{5} + C}

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