Calcule a integral indefinida.
\int x^{2} e^{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}e^{x^{3}}\,\mathrm{d}x.
O conteúdo principal aqui é o método de substituição, já que a derivada de x^{3} aparece (até um fator constante) junto com e^{x^{3}}.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = x^{3}, \quad \mathrm{d}u = 3x^{2}\,\mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; x^{2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\,\mathrm{d}u.

Passo 3

Substituindo em \int x^{2}e^{x^{3}}\,\mathrm{d}x, obtemos
\int x^{2}e^{x^{3}}\,\mathrm{d}x = \int e^{u}\,\frac{1}{3}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{3}\int e^{u}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

A integral de e^{u} em relação a u é e^{u}. Logo,
\frac{1}{3}\int e^{u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{3}e^{u} + C = \frac{1}{3}e^{x^{3}} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}e^{x^{3}} + C

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