Calcule os limites laterais, se existirem (como números reais, ou \infty, ou -\infty ):
  1. \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral
\lim_{x\to1^-}\frac{x}{x^2-1}
Esse é um caso de limite em que o denominador tende a zero, podendo gerar uma “explosão” para \pm\infty. Vamos usar fatoração e análise de sinal para decidir se o limite existe e qual é o seu valor.

Passo 2

Fatoramos o denominador para entender melhor o comportamento perto de x=1:
x^2 - 1 = (x-1)(x+1).

Passo 3

Quando x\to1^-:
  • O numerador x tende a 1 (positivo).
  • O fator (x-1) tende a 0 mas vindo de valores menores que zero, ou seja, (x-1)\to0^-.
  • O fator (x+1) tende a 2 (positivo).
Logo o produto no denominador (x-1)(x+1) tende a 0^-\times2=0^-. Portanto a fração comporta-se como
\frac{\text{positivo}}{0^-}\longrightarrow -\infty.

Resposta

\lim_{x\to1^-}\frac{x}{x^2-1} = -\infty.

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