Calcule os limites, se existirem (como números reais):
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-4 x+3}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-1}.
Este é um limite de uma função racional que, ao substituir x=1, gera a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada ao substituir x=1:
1^{2}-4\cdot1+3=0 \quad\text{e}\quad 1^{2}-1=0,
logo obtemos 0/0. Precisamos fatorar numerador e denominador para cancelar o fator comum.

Passo 3

Fatoramos o numerador e o denominador:
x^{2}-4x+3 = (x-1)(x-3),
x^{2}-1 = (x-1)(x+1).

Passo 4

Para x\neq1, podemos cancelar o fator (x-1):
\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-1} =\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+1)} =\frac{x-3}{x+1}.

Passo 5

Agora calculamos o limite da expressão simplificada quando x\to1:
\lim_{x\to1}\frac{x-3}{x+1} =\frac{1-3}{1+1} =\frac{-2}{2} =-1.

Resposta

-1

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