Calcule a integral indefinida \int x \ln (x+1) d x
Escolha uma opção:
\frac{x^{4}}{4} \ln (x)-\frac{x^{4}}{16}+C
x \ln (\sqrt{x})-\frac{x}{2}+C
-\frac{\ln ^{2}(x)}{2 x^{2}}-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}-\frac{1}{4 x^{2}}
\frac{2 x}{5} \sqrt{x^{3}} \ln (x)-\frac{4 x}{25} \sqrt{x^{3}}
\frac{x^{2}}{2} \ln (x+1)-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}-
-\frac{x^{2}}{4}-x+\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right) \ln
\frac{x^{3}}{3} \ln (x)-\frac{x^{3}}{9}+C
2 \sqrt{x} \ln (x)-4 \sqrt{x}+C

Passo 1

Temos que calcular a integral indefinida
\int x\,\ln(x+1)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto de x com \ln(x+1).

Passo 2

Escolhemos as partições da forma
u = \ln(x+1), \quad dv = x\,dx.
Então
du = \frac{1}{x+1}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
obtemos
\int x\,\ln(x+1)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\ln(x+1) - \int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{x+1}\,dx.

Passo 4

Focamos na integral
\int \frac{x^2}{x+1}\,dx.
Fazemos a divisão polinomial
\frac{x^2}{x+1} = x-1 + \frac{1}{x+1},
pois x^2 = (x+1)(x-1)+1. Logo
\int \frac{x^2}{x+1}\,dx = \int (x-1)\,dx + \int \frac{1}{x+1}\,dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1).
Voltando ao passo anterior e lembrando do fator \tfrac12,
\int x\,\ln(x+1)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x+1) - \frac12\Bigl(\frac{x^2}{2}-x+\ln(x+1)\Bigr)+C.

Passo 5

Distribuindo o -\tfrac12 e agrupando termos,
\int x\,\ln(x+1)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac12\,\ln(x+1) + C.
Essa expressão corresponde à opção que contém \ln(x+1), ou seja, a quinta opção da lista.

Resposta

A quinta opção:
\frac{x^2}{2}\ln(x+1)\;-\;\frac{x^2}{4}\;+\;\frac{x}{2}\;-\;\frac12\ln(x+1)\;+\;C.

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