O valor da integral \int_{0}^{\pi / 6} \operatorname{tg} 2 x d x é
Escolha uma opção:
\ln 3
(\ln 2) / 2
(\ln 2) / 3
(\ln 3) / 12
(\ln 3) / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/6} \tan(2x)\,dx
O conteúdo principal é a integração da função tangente, usando uma substituição para simplificar o argumento e a antiderivada conhecida
\int \tan u\,du = -\ln\bigl|\cos u\bigr| + C.

Passo 2

Fazemos a substituição u=2x. Então du=2\,dx, ou seja, dx=\tfrac{du}{2}. Quando x=0 temos u=0 e quando x=\tfrac{\pi}{6} temos u=\tfrac{\pi}{3}. Portanto,
\int_{0}^{\pi/6} \tan(2x)\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3} \tan u\,du.

Passo 3

Usamos a antiderivada de \tan u:
\int \tan u\,du = -\ln\bigl|\cos u\bigr| + C.

Passo 4

Substituindo nos limites, obtemos
\frac{1}{2}\Bigl[-\ln\bigl|\cos u\bigr|\Bigr]_{0}^{\pi/3} = -\frac{1}{2}\Bigl(\ln\bigl|\cos(\tfrac{\pi}{3})\bigr| - \ln\bigl|\cos 0\bigr|\Bigr).
Como \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac12 e \cos 0=1, temos
-\frac{1}{2}\bigl(\ln\tfrac12 - \ln 1\bigr) = -\frac{1}{2}(-\ln 2) = \frac{\ln 2}{2}.

Resposta

\tfrac{\ln 2}{2}

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