Defina, mas não calcule, uma integral que forneça o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre as curvas dadas em torno da reta especificada.
x=\sqrt{5-y}, \quad y=0, \quad x=0; em torno do eixo y

Passo 1

O enunciado pede que a gente defina a integral que dá o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por \,x=\sqrt{5-y}, \,y=0 e \,x=0. O conteúdo aqui é cálculo de volumes por revolução, e vamos usar o método dos discos (ou anéis).

Passo 2

Primeiro, identificamos os limites de variação de y. Da curva x=\sqrt{5-y} vemos que o ponto mais alto ocorre quando x=0, ou seja 5-y=0\implies y=5. Como a região também é limitada por y=0, temos
0\le y\le5.

Passo 3

Para cada y fixo, a seção perpendicular ao eixo y é um disco de raio
R(y)=x_{\max}=\sqrt{5-y}.
A área desse disco é
A(y)=\pi\bigl(R(y)\bigr)^2=\pi\bigl(\sqrt{5-y}\bigr)^2=\pi(5-y).

Passo 4

O volume do sólido de revolução é dado pela integral da área das seções de y=0 até y=5. Portanto, definimos
V=\int_{0}^{5}A(y)\,dy =\int_{0}^{5}\pi(5-y)\,dy.

Resposta

V=\int_{0}^{5}\pi(5-y)\,dy.

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