Defina, mas não calcule, uma integral que forneça o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre as curvas dadas em torno da reta especificada.
y=\ln x, \quad y=0, \quad x=3; em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
y = \ln x,\quad y = 0,\quad x = 3.
Este é um problema de cálculo de volume por revolução, e vamos usar o método dos discos (ou anéis) para montar a integral sem avaliá-la.

Passo 2

Precisamos determinar os limites em x. A região fica entre y=\ln x e y=0. Igualando
\ln x = 0
vem x=1. Portanto x varia de 1 até 3.

Passo 3

No método dos discos, o volume é dado por
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno da “fatia” perpendicular ao eixo x.

Passo 4

Ao girar em torno do eixo x:
– A curva superior y=\ln x gera o raio externo R(x)=\ln x.
– A reta y=0 gera o raio interno r(x)=0.

Passo 5

Substituindo a=1, b=3, R(x)=\ln x e r(x)=0 na fórmula dos discos, a integral que define o volume é
V = \pi \int_{1}^{3} \bigl(\ln x\bigr)^{2}\,dx.

Resposta

V = \pi \int_{1}^{3} (\ln x)^{2}\,dx.

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