Defina, mas não calcule, uma integral que forneça o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre as curvas dadas em torno da reta especificada.
; em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
Este é um problema de cálculo de volume por revolução, e vamos usar o método dos discos (ou anéis) para montar a integral sem avaliá-la.
Passo 2
Precisamos determinar os limites em
. A região fica entre
e
. Igualando
vem
. Portanto
varia de
até
.
Passo 3
No método dos discos, o volume é dado por
onde
é o raio externo e
o raio interno da “fatia” perpendicular ao eixo
.
Passo 4
Ao girar em torno do eixo
:
– A curva superior gera o raio externo
.
– A reta gera o raio interno
.
– A curva superior
– A reta
Passo 5
Substituindo
,
,
e
na fórmula dos discos, a integral que define o volume é