( 3,5 pontos) Considere a regiâo
no plano delimitada pelos gráficos de
e pelo eixo-
, no intervalo de
a
.
a) ( 0,5 ponto) Esboce um desenho da regin̄o
.
b)
ponto) Celcule a área da região
c) ( 1,5 ponto) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da regiāo
, em torno do eixo-
.
a) ( 0,5 ponto) Esboce um desenho da regin̄o
b)
c) ( 1,5 ponto) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da regiāo
Passo 1
O enunciado define a região
em coordenadas cartesianas, limitada pelos gráficos de
e pelo eixo-
, para
.
Conteúdo: integrar funções elementares para obter área e volume de revolução. Vamos precisar de divisão do intervalo em que cada curva é a “parte de cima” do contorno e usar integrais definidas e o método dos discos (ou anéis) para o volume.
Conteúdo: integrar funções elementares para obter área e volume de revolução. Vamos precisar de divisão do intervalo em que cada curva é a “parte de cima” do contorno e usar integrais definidas e o método dos discos (ou anéis) para o volume.
Passo 2
Para esboçar
, note que
e
se cruzam em
. O contorno de
é dado por:
- o arco de
de até , - o arco de
de até , - o segmento do eixo-
de de volta a .
Assim,está “abaixo” dessas curvas e “acima” do eixo- .
Passo 3
Para calcular a área, decomponho
em dois trechos:
- Em , a fronteira é
.
- Em , a fronteira é
.
Logo
- Em
- Em
Logo
Calculemos cada integral:
Somando,
Passo 4
Para o volume da rotação de
em torno do eixo-
, usamos o método dos discos, de raio igual à função de contorno. De novo, fazemos peça-a-peça:
Use as identidades
e
.
Primeira integral:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando e multiplicando por
,
Resposta
Área de
:
.
Volume do sólido de revolução: .
Volume do sólido de revolução: