( 3,5 pontos) Considere a regiâo R no plano delimitada pelos gráficos de f(x)=\operatorname{sen} x, g(x)=\cos x e pelo eixo- x, no intervalo de x=0 a x=\frac{\pi}{2}.
a) ( 0,5 ponto) Esboce um desenho da regin̄o R.
b) (1,5 ponto) Celcule a área da região
c) ( 1,5 ponto) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da regiāo R, em torno do eixo- x.

Passo 1

O enunciado define a região R em coordenadas cartesianas, limitada pelos gráficos de
f(x)=\operatorname{sen} x,\quad g(x)=\cos x
e pelo eixo- x, para 0\le x\le\frac{\pi}{2}.
Conteúdo: integrar funções elementares para obter área e volume de revolução. Vamos precisar de divisão do intervalo em que cada curva é a “parte de cima” do contorno e usar integrais definidas e o método dos discos (ou anéis) para o volume.

Passo 2

Para esboçar R, note que \operatorname{sen} x e \cos x se cruzam em x=\frac{\pi}{4}. O contorno de R é dado por:
  1. o arco de \operatorname{sen} x de x=0 até x=\frac{\pi}{4},
  2. o arco de \cos x de x=\frac{\pi}{4} até x=\frac{\pi}{2},
  3. o segmento do eixo- x de x=\frac{\pi}{2} de volta a x=0.
    Assim, R está “abaixo” dessas curvas e “acima” do eixo- x.

Passo 3

Para calcular a área, decomponho R em dois trechos:
- Em 0\le x\le\frac{\pi}{4}, a fronteira é y=\operatorname{sen} x.
- Em \frac{\pi}{4}\le x\le\frac{\pi}{2}, a fronteira é y=\cos x.
Logo
\text{Área}(R) =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{sen} x\,dx +\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx.Á
Calculemos cada integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{sen} x\,dx =\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =-\cos\!\tfrac{\pi}{4}+ \cos 0 = -\tfrac{\sqrt2}{2}+1 =1-\tfrac{\sqrt2}{2},
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx =\bigl[\operatorname{sen} x\bigr]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} =\operatorname{sen}\!\tfrac{\pi}{2}-\operatorname{sen}\!\tfrac{\pi}{4} =1-\tfrac{\sqrt2}{2}.
Somando,
\text{Área}(R) = \bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) + \bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) =2-\sqrt2.Á

Passo 4

Para o volume da rotação de R em torno do eixo- x, usamos o método dos discos, de raio igual à função de contorno. De novo, fazemos peça-a-peça:
V =\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)^{2}dx +\pi\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\cos x\bigr)^{2}dx.
Use as identidades \operatorname{sen}^{2}x=\tfrac{1-\cos2x}{2} e \cos^{2}x=\tfrac{1+\cos2x}{2}.
Primeira integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{sen}^{2}x\,dx =\tfrac12\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-\cos2x)\,dx =\tfrac12\Bigl[x-\tfrac{\sin2x}{2}\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =\tfrac12\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac12\Bigr) =\tfrac{\pi}{8}-\tfrac14.
Segunda integral:
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}x\,dx =\tfrac12\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos2x)\,dx =\tfrac12\Bigl[x+\tfrac{\sin2x}{2}\Bigr]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} =\tfrac12\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{4}-\tfrac12\Bigr) =\tfrac{\pi}{8}-\tfrac14.
Somando e multiplicando por \pi,
V =\pi\Bigl(2\bigl(\tfrac{\pi}{8}-\tfrac14\bigr)\Bigr) =\pi\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac12\Bigr) =\frac{\pi^{2}}{4}-\frac{\pi}{2}.

Resposta

Área de R: 2-\sqrt2.
Volume do sólido de revolução: \displaystyle \frac{\pi^{2}}{4}-\frac{\pi}{2}.

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