Encontre a integral indefinida geral.
\int\left(x^{2}+x^{-2}\right) d x.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida geral
\int\left(x^{2}+x^{-2}\right)\,dx.
Informações dadas e observações importantes:
  • A variável de integração é x.
  • A função a integrar é a soma de duas potências de x: \,x^{2}\, e \,x^{-2}\,.
  • Como apareceu x^{-2}, a expressão não está definida em x=0; portanto a antiderivada que encontrarmos vale em intervalos que não cruzem 0.
  • Precisamos fornecer a antiderivada geral, ou seja, o resultado com a constante de integração C.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Então podemos separar:
\int\left(x^{2}+x^{-2}\right)\,dx=\int x^{2}\,dx+\int x^{-2}\,dx.
Explicando a propriedade: se f e g são funções e a,b constantes, então \int (a f + b g)\,dx = a\int f\,dx + b\int g\,dx. Aqui a=b=1.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência para integrais. A regra diz:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad\text{para }n\neq -1.
Por que isso é verdade (breve verificação): derivando \frac{x^{n+1}}{n+1} usando a regra da potência para derivadas \frac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1}, obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}=x^{n},
portanto \frac{x^{n+1}}{n+1} é uma antiderivada de x^{n}. A restrição n\neq -1 aparece porque para n=-1 a fórmula daria divisão por zero; nesse caso a antiderivada é \ln|x|.

Passo 4

Agora aplico a regra ao primeiro termo \,x^{2}\,. Aqui n=2, então
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C_{1}=\frac{x^{3}}{3}+C_{1}.
Expliquei passo a passo: somei 1 ao expoente 2 (ficou 3) e dividi por esse novo expoente.

Passo 5

Aplico a regra ao segundo termo \,x^{-2}\,. Aqui n=-2, que não é -1, então a regra vale:
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_{2}=\frac{x^{-1}}{-1}+C_{2}=-x^{-1}+C_{2}.
De novo somei 1 ao expoente -2 (ficou -1) e dividi por -1.

Passo 6

Somando as duas antiderivadas (e lembrando que as constantes C_{1} e C_{2} podem ser combinadas numa única constante C), obtemos
\frac{x^{3}}{3}-x^{-1}+C.
Podemos também escrever x^{-1} como \dfrac{1}{x}, ficando a forma mais familiar
\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}+C.
Lembrete sobre domínio: essa antiderivada é válida em qualquer intervalo que não contenha 0 (por causa de \dfrac{1}{x}).

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}+C\right)=x^{2}+x^{-2},
usando \frac{d}{dx}x^{3}/3 = x^{2} e \frac{d}{dx}(-x^{-1}) = -(-1)x^{-2}=x^{-2}. Está consistente com o integrando original.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}+C

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