Encontre a integral indefinida geral.
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida geral
Informações dadas e observações importantes:
- A variável de integração é
. - A função a integrar é a soma de duas potências de
: e . - Como apareceu
, a expressão não está definida em ; portanto a antiderivada que encontrarmos vale em intervalos que não cruzem . - Precisamos fornecer a antiderivada geral, ou seja, o resultado com a constante de integração
.
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Então podemos separar:
Explicando a propriedade: se
e
são funções e
constantes, então
. Aqui
.
Passo 3
Aplicamos a regra de potência para integrais. A regra diz:
Por que isso é verdade (breve verificação): derivando
usando a regra da potência para derivadas
, obtemos
portanto
é uma antiderivada de
. A restrição
aparece porque para
a fórmula daria divisão por zero; nesse caso a antiderivada é
.
Passo 4
Agora aplico a regra ao primeiro termo
. Aqui
, então
Expliquei passo a passo: somei
ao expoente
(ficou
) e dividi por esse novo expoente.
Passo 5
Aplico a regra ao segundo termo
. Aqui
, que não é
, então a regra vale:
De novo somei
ao expoente
(ficou
) e dividi por
.
Passo 6
Somando as duas antiderivadas (e lembrando que as constantes
e
podem ser combinadas numa única constante
), obtemos
Podemos também escrever
como
, ficando a forma mais familiar
Lembrete sobre domínio: essa antiderivada é válida em qualquer intervalo que não contenha
(por causa de
).
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando o resultado obtemos
usando
e
. Está consistente com o integrando original.