Use a Propriedade 5 de integral definida para calcular as integrais dadas.
\int_{-3}^{4}|x+2| d x

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int_{-3}^{4} |x+2|\,dx usando a propriedade de integral definida que permite dividir o intervalo num ponto intermediário onde a função muda de expressão.

Passo 2

Encontramos onde o argumento muda de sinal, resolvendo
x + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -2,
que de fato está dentro de [-3,4].

Passo 3

Para x\in[-3,-2] temos x+2\le0 e, logo, |x+2|=-(x+2).
Para x\in[-2,4] temos x+2\ge0 e, logo, |x+2|=x+2.
Pela propriedade 5:
\int_{-3}^{4} |x+2|\,dx =\int_{-3}^{-2} [-(x+2)]\,dx +\int_{-2}^{4} (x+2)\,dx.

Passo 4

Calculamos a primeira parte:
\int_{-3}^{-2} [-(x+2)]\,dx =\int_{-3}^{-2} (-x-2)\,dx =\Bigl[-\tfrac{x^2}{2}-2x\Bigr]_{-3}^{-2}.
Em x=-2:
-\tfrac{(-2)^2}{2}-2(-2) =-\tfrac{4}{2}+4 =-2+4 =2,
e em x=-3:
-\tfrac{(-3)^2}{2}-2(-3) =-\tfrac{9}{2}+6 =\tfrac{-9+12}{2} =\tfrac{3}{2}.
Portanto essa parte vale
2 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora a segunda parte:
\int_{-2}^{4} (x+2)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}+2x\Bigr]_{-2}^{4}.
Em x=4:
\tfrac{4^2}{2}+2\cdot4 =8+8 =16,
e em x=-2:
\tfrac{(-2)^2}{2}+2(-2) =2-4 =-2.
Logo essa parte vale
16 - (-2) = 18.

Passo 6

Somando as duas partes:
\tfrac{1}{2} + 18 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{36}{2} = \tfrac{37}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{37}{2}

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