Utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados, determine a solução geral de cada EDO abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea e depois um particular para a parte não homogênea.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
logo temos raíz real dupla
. Isso dá a solução homogênea
Passo 3
Para um particular, note que o termo à direita é um polinômio de grau 2 vezes
. Como
já está associado a uma raiz dupla
, multiplicamos a base de palpite por
. Assim, fazemos a troca
com
sendo um polinômio de grau
vezes
. No entanto, há um atalho elegante: ao substituir
em
, obtém-se
Então basta resolver
Passo 4
Integramos
duas vezes, desprezando constantes de integração que se incorporam à homogênea:
Logo um particular é
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com o particular: