Utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados, determine a solução geral de cada EDO abaixo:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\left(1+t+t^{2}\right) e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y''-4y'+4y=(1+t+t^2)e^{2t}
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea e depois um particular para a parte não homogênea.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''-4y'+4y=0.
A equação característica é
r^2-4r+4=0\quad\Longrightarrow\quad (r-2)^2=0,
logo temos raíz real dupla r=2. Isso dá a solução homogênea
y_h(t)=(C_1 + C_2\,t)e^{2t}.

Passo 3

Para um particular, note que o termo à direita é um polinômio de grau 2 vezes e^{2t}. Como e^{2t} já está associado a uma raiz dupla r=2, multiplicamos a base de palpite por t^2. Assim, fazemos a troca
y_p(t)=e^{2t}u(t),
com u(t) sendo um polinômio de grau 2 vezes t^2. No entanto, há um atalho elegante: ao substituir y_p=e^{2t}u em L[y]=y''-4y'+4y, obtém-se
L[y_p]=e^{2t}\,u''(t).
Então basta resolver
u''(t)=1+t+t^2.

Passo 4

Integramos u''(t)=1+t+t^2 duas vezes, desprezando constantes de integração que se incorporam à homogênea:
u'(t)=\int(1+t+t^2)\,dt = t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3},
u(t)=\int\Bigl(t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}\Bigr)\,dt =\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+\frac{t^4}{12}.
Logo um particular é
y_p(t)=e^{2t}\Bigl(\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+\frac{t^4}{12}\Bigr).

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com o particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =e^{2t}\biggl(C_1 + C_2\,t + \frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+\frac{t^4}{12}\biggr).

Resposta

y(t)=e^{2t}\Bigl(C_1 + C_2\,t + \tfrac{t^2}{2} + \tfrac{t^3}{6} + \tfrac{t^4}{12}\Bigr).

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