Utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados, determine a solução geral de cada EDO abaixo:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-4 y=t^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' - 4y = t^2
Esse tipo de equação tem solução geral dada por
y(t) = y_h(t) + y_p(t),
onde y_h é a solução da homogênea e y_p é uma solução particular. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar y_p.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução geral da homogênea associada
y'' + 3y' -4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 3r -4 = 0,
cuja solução é
r = 1,\quad r = -4.
Logo
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-4t}.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p do tipo polinomial de grau 2, tomamos
y_p(t) = A t^2 + B t + C.
Então
y_p'(t) = 2A t + B, \qquad y_p''(t) = 2A.
Substituindo em y'' + 3y' -4y = t^2 obtemos
2A + 3(2A t + B) -4(A t^2 + B t + C) = (-4A)\,t^2 + (6A -4B)\,t + (2A +3B -4C).
Isso deve ser igual a t^2 + 0\,t +0. Igualando coeficientes dá o sistema
\begin{cases} -4A = 1,\\\\ 6A -4B = 0,\\\\ 2A +3B -4C = 0. \end{cases}
Resolvendo:
A = -\tfrac14,\quad B = -\tfrac{3}{8},\quad C = -\tfrac{13}{32}.
Portanto
y_p(t) = -\tfrac14\,t^2 - \tfrac{3}{8}\,t - \tfrac{13}{32}.

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-4t} -\tfrac14\,t^2 - \tfrac{3}{8}\,t - \tfrac{13}{32}.

Resposta

y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-4t} -\tfrac14\,t^2 - \tfrac{3}{8}\,t - \tfrac{13}{32}.

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