Calcule a integral indefinida.
\int \operatorname{senh}^{2} x \operatorname{cosh} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sinh}^{2}(x)\,\operatorname{cosh}(x)\,dx.
Este é um caso clássico de integração por substituição: percebemos que a derivada de \operatorname{sinh}(x) é \operatorname{cosh}(x), o que sugere uma mudança de variável simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sinh}(x),
de onde segue
du = \operatorname{cosh}(x)\,dx.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \operatorname{sinh}^{2}(x)\,\operatorname{cosh}(x)\,dx = \int u^{2}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para primitivar u^{2}:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, basta reverter u = \operatorname{sinh}(x):
\frac{u^{3}}{3} + C = \frac{\operatorname{sinh}^{3}(x)}{3} + C.

Resposta

\frac{\operatorname{sinh}^{3}(x)}{3} + C

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