Calcule a integral indefinida.
\int \operatorname{sec} ^{2} \theta \operatorname{tg}^{3} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{2}\theta \,\tan^{3}\theta \,d\theta.
O conteúdo aqui é o método de substituição, pois sabemos que a derivada de \tan\theta é \operatorname{sec}^{2}\theta.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = \tan\theta,
para aproveitar que
du = \operatorname{sec}^{2}\theta \,d\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \operatorname{sec}^{2}\theta \,\tan^{3}\theta \,d\theta = \int u^{3}\,du.

Passo 4

Agora basta integrar em u:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4} + C.

Passo 5

Voltando à variável \theta, substituímos u = \tan\theta:
\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{\tan^{4}\theta}{4} + C.

Resposta

\frac{\tan^{4}\theta}{4} + C

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