Calcule a integral indefinida:
\int \frac{4 x-2}{x^{2}-x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de uma função racional:
\int \frac{4x-2}{x^{2}-x-2}\,dx.
O conteúdo principal é integração de funções racionais, e vamos usar a técnica de substituição por identificação de derivada no numerador.

Passo 2

Observe que o denominador é
x^{2}-x-2
cuja derivada em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-x-2\bigr)=2x-1.
Repare que o numerador 4x-2 pode ser escrito como
4x-2=2(2x-1).
Isso indica que podemos fazer a substituição
u = x^{2}-x-2, \qquad du = (2x-1)\,dx,
de modo que
(4x-2)\,dx = 2(2x-1)\,dx = 2\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{4x-2}{x^{2}-x-2}\,dx = \int \frac{2\,du}{u} = 2 \int \frac{du}{u} = 2\ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando à variável x,
2\ln\bigl|u\bigr| + C = 2\ln\bigl|x^{2}-x-2\bigr| + C.

Resposta

2\ln\bigl|x^{2}-x-2\bigr| + C

Exercícios relacionados