Esboce a região cuja área é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria.
\int_{-2}^{1} x d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pela curva y = x, pelo eixo x e pelas retas x = -2 e x = 1, e então calcular
\int_{-2}^{1} x \, dx
O conteúdo é interpretação de integral como área e uso da fórmula da área de triângulo,
A_{\text{triângulo}} = \tfrac12 \times (\text{base}) \times (\text{altura}).â

Passo 2

Dividimos a região em duas partes: de x=-2 a x=0 (onde y=x fica abaixo do eixo e gera área negativa) e de x=0 a x=1 (onde y=x fica acima do eixo e gera área positiva). Em cada parte a região é um triângulo.

Passo 3

Para x\in[-2,0] temos um triângulo com base de comprimento
0 - (-2) = 2
e altura em x=-2 igual a \lvert y\rvert = \lvert -2\rvert = 2. A área algébrica desta parte é
A_1 = -\,\tfrac12 \times 2 \times 2 = -2.

Passo 4

Para x\in[0,1] temos um triângulo com base de comprimento
1 - 0 = 1
e altura em x=1 igual a y=1. A área desta parte é
A_2 = \tfrac12 \times 1 \times 1 = \tfrac12.

Passo 5

Somando as duas áreas algébricas obtém-se a integral:
\int_{-2}^{1} x \, dx = A_1 + A_2 = -2 + \tfrac12 = -\tfrac{3}{2}.

Resposta

-\tfrac{3}{2}

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