Calcule a integral indefinida.
\int \ln \sqrt[3]{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \ln \sqrt[3]{x}\, dx.
Para resolver, vamos usar propriedades de logaritmos e a técnica de integração por partes.

Passo 2

Aplicamos a propriedade
\ln(a^b)=b\ln(a)
com a=x e b=\tfrac13:
\ln \sqrt[3]{x} =\ln\bigl(x^{1/3}\bigr) =\tfrac{1}{3}\ln(x).
Assim
\int \ln \sqrt[3]{x}\, dx =\tfrac{1}{3}\int \ln(x)\, dx.

Passo 3

Para calcular \int \ln(x)\, dx, escolhemos em integração por partes
u=\ln(x),\quad dv=dx,
de modo que
du=\frac{dx}{x},\quad v=x.
Pela fórmula \int u\,dv=uv-\int v\,du, obtemos
\int \ln(x)\, dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{dx}{x} = x\ln(x) - \int 1\, dx = x\ln(x) - x + C_1.

Passo 4

Retornando ao fator \tfrac13, temos
\int \ln \sqrt[3]{x}\, dx = \tfrac{1}{3}\bigl(x\ln(x)-x\bigr) + C = \frac{x\ln(x)-x}{3} + C.

Resposta

\frac{x\ln(x)-x}{3} + C

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