Calcule os limites abaixo, caso exista.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 x-1}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x-1}-1}{x-1},
que é um problema de limite de função com indeterminação do tipo 0/0. Vamos usar o conteúdo de limites de funções, mais especificamente a técnica de racionalização de expressão.

Passo 2

Primeiro substituímos x=1 diretamente para verificar a forma:
\sqrt{2\cdot1-1}-1=1-1=0 e 1-1=0.
Logo obtemos a indeterminação 0/0, então não dá para avaliar direto e precisamos manipular algebricamente.

Passo 3

Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador \sqrt{2x-1}+1:
\frac{\sqrt{2x-1}-1}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{2x-1}+1}{\sqrt{2x-1}+1} =\frac{(\sqrt{2x-1})^2-1^2}{(x-1)\bigl(\sqrt{2x-1}+1\bigr)}.

Passo 4

No numerador fazemos a diferença de quadrados:
(\sqrt{2x-1})^2-1^2 = (2x-1)-1 = 2x-2 = 2(x-1).
Assim a fração fica
\frac{2(x-1)}{(x-1)\bigl(\sqrt{2x-1}+1\bigr)} =\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1},
pois x-1 cancela para x\neq1.

Passo 5

Agora não há mais indeterminação e podemos aplicar o limite x\to1:
\lim_{x\to1}\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1} =\frac{2}{\sqrt{2\cdot1-1}+1} =\frac{2}{1+1} =1.

Resposta

1

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