Calcule a integral indefinida.
\int x \cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x \cos 5x \, dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x,\quad dv = \cos 5x \, dx
porque derivar x é simples e integrar \cos5x também. Assim,
du = dx,
v = \int \cos 5x \, dx = \frac{1}{5}\sin 5x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int x \cos 5x \, dx = u\,v - \int v\,du = x\cdot\frac{1}{5}\sin 5x \;-\;\int \frac{1}{5}\sin 5x\,dx.
Colocando o fator \tfrac{1}{5} em evidência:
\int x \cos 5x \, dx = \frac{x}{5}\sin 5x \;-\;\frac{1}{5}\int \sin 5x\,dx.

Passo 4

Basta calcular \displaystyle \int \sin 5x\,dx:
\int \sin 5x \, dx = -\frac{1}{5}\cos 5x.
Logo,
\int x \cos 5x \, dx = \frac{x}{5}\sin 5x \;-\;\frac{1}{5}\Bigl(-\frac{1}{5}\cos 5x\Bigr) = \frac{x}{5}\sin 5x + \frac{1}{25}\cos 5x + C.

Resposta

\int x \cos 5x \, dx = \frac{x}{5}\sin 5x + \frac{1}{25}\cos 5x + C.

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