Calcule os limites abaixo, caso exista.
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{3 x-1}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral esquerdo
\lim_{x\to2^-}\frac{3x-1}{x^2-4}
O conteúdo aqui é estudo de limites infinitos em pontos de descontinuidade (denominador zero). Vamos precisar fatorar o denominador e analisar o sinal de numerador e denominador quando x se aproxima de 2 pela esquerda.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2-4=(x-2)(x+2),
logo
\frac{3x-1}{x^2-4} =\frac{3x-1}{(x-2)(x+2)}.

Passo 3

Analisamos o comportamento de cada parte quando x\to2^-:
  • Numerador: 3x-1\to3\cdot2-1=5>0.
  • Fator (x-2) tende a 0 por valores negativos, pois x<2.
  • Fator (x+2) tende a 4>0.
Portanto o denominador (x-2)(x+2) tende a 0^- (produto de valor negativo por positivo).

Passo 4

Como o numerador tende a 5>0 e o denominador tende a 0^-, a fração cresce em módulo para infinito com sinal negativo. Logo
\lim_{x\to2^-}\frac{3x-1}{x^2-4}=-\infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados