Calcule a integral indefinida:
\int \operatorname{sec} (x+1) d x

Passo 1

O enunciado nos pede a integral indefinida \int \operatorname{sec}(x+1)\,dx. O conteúdo envolve substituição simples e a integral padrão de secante. Vamos usar uma mudança de variável para reduzir ao caso \int \operatorname{sec} u\,du, cuja primitiva é conhecida.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = x + 1,
temos
du = dx.
Logo, a integral se transforma em
\int \operatorname{sec}(x+1)\,dx = \int \operatorname{sec} u\,du.

Passo 3

Usando a fórmula padrão para a primitiva de \operatorname{sec} u:
\int \operatorname{sec} u\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável original x pela relação u = x + 1, obtemos
\ln\bigl|\operatorname{sec}(x+1) + \tan(x+1)\bigr| + C.

Resposta

\ln\bigl|\operatorname{sec}(x+1) + \tan(x+1)\bigr| + C

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