Calcule a integral indefinida:
\int \operatorname{tg}^{3} x \cos ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede
\int \tan^{3}x \,\cos^{4}x\,dx
que é uma integral de funções trigonométricas. Para resolver, vamos transformar tudo em seno e cosseno e em seguida usar substituição simples.

Passo 2

Reescrevendo em termos de \sin x e \cos x:
\tan^{3}x \,\cos^{4}x = \frac{\sin^{3}x}{\cos^{3}x}\,\cos^{4}x = \sin^{3}x\,\cos x.

Passo 3

Fazendo a substituição
u = \sin x, \qquad du = \cos x\,dx,
a integral torna-se
\int \sin^{3}x\,\cos x\,dx = \int u^{3}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4} + C.
Voltando para x:
\frac{\sin^{4}x}{4} + C.

Resposta

\frac{\sin^{4}x}{4} + C.

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