Calcule a integral indefinida:
\int \operatorname{sen}^{3} 2 \theta \cos ^{4} 2 \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \sin^{3}(2\theta)\,\cos^{4}(2\theta)\,d\theta.
O conteúdo aqui é integração de potências de seno e cosseno. Como a potência de seno é ímpar, vamos extrair um fator de \sin(2\theta) e usar identidade para reduzir.

Passo 2

Escrevemos
\sin^{3}(2\theta)=\sin^{2}(2\theta)\,\sin(2\theta) \quad\text{e}\quad \sin^{2}(2\theta)=1-\cos^{2}(2\theta).
Então o integrando fica
(1-\cos^{2}(2\theta))\,\sin(2\theta)\,\cos^{4}(2\theta).

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\cos(2\theta), \quad du=-2\sin(2\theta)\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin(2\theta)\,d\theta=-\tfrac12\,du.
A integral passa a ser
-\tfrac12\int (1-u^{2})\,u^{4}\,du.

Passo 4

Expandindo o polinômio:
(1-u^{2})u^{4}=u^{4}-u^{6},
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-\tfrac12\int (u^{4}-u^{6})\,du =-\tfrac12\Bigl(\tfrac{u^{5}}{5}-\tfrac{u^{7}}{7}\Bigr)+C =-\tfrac{u^{5}}{10}+\tfrac{u^{7}}{14}+C.

Passo 5

Voltando a \theta com u=\cos(2\theta), obtemos
-\frac{\cos^{5}(2\theta)}{10}+\frac{\cos^{7}(2\theta)}{14}+C.

Resposta

-\frac{\cos^{5}(2\theta)}{10}+\frac{\cos^{7}(2\theta)}{14}+C.

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