Denote por
a série de Fourier de uma funçãos
-periódica
. Dadas
-periódicas e integrá veis em
e
, prove que:
.
Passo 1
O enunciado quer que mostremos a linearidade da série de Fourier: dadas duas funções
-periódicas e integráveis
e
, provar que a série de Fourier de
é a soma das séries de Fourier de
e de
. Para isso, vamos usar a definição dos coeficientes de Fourier e a propriedade de linearidade da integral.
Passo 2
Seja
uma função
-periódica e integrável em
. Seus coeficientes de Fourier são
para
. A série de Fourier de
é
Passo 3
Pela linearidade da integral, para todo
(onde entendemos
e
) vale
e de modo análogo
Passo 4
Usando essas igualdades na expressão da série de Fourier de
, obtemos