Denote por \hat{f} a série de Fourier de uma funçãos 2 \pi-periódica f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Dadas f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} 2 \pi-periódicas e integrá veis em [-\pi, \pi] e \alpha \in \mathbb{R}, prove que:
\hat{f+g}=\hat{f}+\hat{g}.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos a linearidade da série de Fourier: dadas duas funções 2\pi-periódicas e integráveis f e g, provar que a série de Fourier de f+g é a soma das séries de Fourier de f e de g. Para isso, vamos usar a definição dos coeficientes de Fourier e a propriedade de linearidade da integral.

Passo 2

Seja h uma função 2\pi-periódica e integrável em [-\,\pi,\pi]. Seus coeficientes de Fourier são
a_{0}(h)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\,\mathrm{d}x, \qquad a_{n}(h)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x, \qquad b_{n}(h)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(x)\sin(nx)\,\mathrm{d}x,
para n\ge1. A série de Fourier de h é
\widehat h(x) =\frac{a_{0}(h)}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}(h)\cos(nx)+b_{n}(h)\sin(nx)\bigr).

Passo 3

Pela linearidade da integral, para todo n\ge0 (onde entendemos \cos(0x)=1 e \sin(0x)=0) vale
a_{n}(f+g) =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\cos(nx)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x +\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x =a_{n}(f)+a_{n}(g),
e de modo análogo
b_{n}(f+g)=b_{n}(f)+b_{n}(g).

Passo 4

Usando essas igualdades na expressão da série de Fourier de f+g, obtemos
\widehat{f+g}(x) =\frac{a_{0}(f+g)}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}(f+g)\cos(nx)+b_{n}(f+g)\sin(nx)\bigr)
\;=\frac{a_{0}(f)+a_{0}(g)}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl((a_{n}(f)+a_{n}(g))\cos(nx)+(b_{n}(f)+b_{n}(g))\sin(nx)\bigr)
\;=\Bigl(\frac{a_{0}(f)}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}(f)\cos(nx)+b_{n}(f)\sin(nx))\Bigr) +\Bigl(\frac{a_{0}(g)}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}(g)\cos(nx)+b_{n}(g)\sin(nx))\Bigr)
\;=\widehat f(x)+\widehat g(x).

Resposta

\widehat{f+g} = \widehat f + \widehat g.

Exercícios relacionados