Denote por \hat{f} a série de Fourier de uma funçãos 2 \pi-periódica f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Dadas f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} 2 \pi-periódicas e integrá veis em [-\pi, \pi] e \alpha \in \mathbb{R}, prove que:
\hat{\alpha} \hat{f}=\alpha \cdot \hat{f}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função 2\pi-periódica integrável f e um escalar \alpha\in\mathbb{R}, a série de Fourier de \alpha f é obtida simplesmente multiplicando a série de Fourier de f por \alpha.
Conteúdo necessário: definição dos coeficientes de Fourier e propriedade de linearidade da integral.

Passo 2

Pela definição, o n-ésimo coeficiente de Fourier de f é
\hat f(n)\;=\;\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,e^{-\,i n x}\,dx.

Passo 3

Agora considere a função \alpha f. Seu n-ésimo coeficiente vale
\widehat{\bigl(\alpha f\bigr)}(n) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(\alpha\,f(x)\bigr)\,e^{-\,i n x}\,dx.
Pela propriedade de linearidade da integral, pode-se retirar o fator \alpha fora do integral:
\widehat{\bigl(\alpha f\bigr)}(n) =\alpha\;\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,e^{-\,i n x}\,dx =\alpha\,\hat f(n).

Passo 4

Como isso vale para todo n\in\mathbb{Z}, concluímos que a série inteira satisfaz
\widehat{\bigl(\alpha f\bigr)}=\alpha\,\hat f.

Resposta

\displaystyle \widehat{\alpha f} = \alpha \,\hat f.

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