Denote por
a série de Fourier de uma funçãos
-periódica
. Dadas
-periódicas e integrá veis em
e
, prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função
-periódica integrável
e um escalar
, a série de Fourier de
é obtida simplesmente multiplicando a série de Fourier de
por
.
Conteúdo necessário: definição dos coeficientes de Fourier e propriedade de linearidade da integral.
Conteúdo necessário: definição dos coeficientes de Fourier e propriedade de linearidade da integral.
Passo 2
Pela definição, o
-ésimo coeficiente de Fourier de
é
Passo 3
Agora considere a função
. Seu
-ésimo coeficiente vale
Pela propriedade de linearidade da integral, pode-se retirar o fator
fora do integral:
Passo 4
Como isso vale para todo
, concluímos que a série inteira satisfaz