Calcule a integral indefinida.
\int x^{2}\left(x^{3}+5\\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x^{2}\,(x^{3}+5)^{2}\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição, pois vemos uma composição de funções cujo derivada interna aparece (até constante) no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3} + 5,
então
du = 3\,x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u:
\int x^{2}\,(x^{3}+5)^{2}\,dx = \int u^{2}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int u^{2}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3},
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\frac{1}{3}\,\int u^{2}\,du = \frac{1}{3}\,\cdot\frac{u^{3}}{3} = \frac{u^{3}}{9}.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = x^{3}+5, então a antiderivada fica
\frac{(x^{3}+5)^{3}}{9} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{(x^{3}+5)^{3}}{9} + C

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