Dados dois vetores não colineares no plano u e v, sempre é possível escrever qualquer vetor w desse plano, de maneira única como combinação linear de u e v, ou seja, existem números reais \alpha e \beta tais que w=\alpha u+\beta v. Responda os itens abaixo:
(a) Escreva w=(2,9) como combinação de u=(-1,1) e v=(3,1).

Passo 1

O enunciado diz que, como u e v não são colineares, qualquer vetor w no plano pode ser escrito de forma única como combinação linear destes: existem \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
w = \alpha\,u + \beta\,v.
Aqui temos
w = (2,9),\quad u = (-1,1),\quad v = (3,1).

Passo 2

Para encontrar \alpha e \beta, montamos o sistema comparando componentes de
\alpha\,(-1,1) + \beta\,(3,1) = (\,-\alpha + 3\beta,\;\alpha + \beta\,)
com (2,9). Assim:
\begin{cases} -\alpha + 3\beta = 2,\\\ \alpha + \beta = 9. \end{cases}

Passo 3

Somando as duas equações, obtemos
(-\alpha + 3\beta) + (\alpha + \beta) = 2 + 9 \quad\Longrightarrow\quad 4\beta = 11 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac{11}{4}.
Substituindo \beta em \alpha + \beta = 9, temos
\alpha + \frac{11}{4} = 9 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 9 - \frac{11}{4} = \frac{36 - 11}{4} = \frac{25}{4}.

Resposta

w = \frac{25}{4}\,u + \frac{11}{4}\,v.

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