Calcule a integral indefinida.
\int 5^{t} \operatorname{sen}\left(5^{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int 5^{t}\,\operatorname{sen}\bigl(5^{t}\bigr)\,dt.
O conteúdo principal é integração por substituição, aproveitando a cadeia formada por 5^{t} dentro do seno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 5^{t}.
Como \frac{d}{dt}(5^{t}) = \ln(5)\,5^{t}, temos
du = \ln(5)\,5^{t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad 5^{t}\,dt = \frac{du}{\ln(5)}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u, obtemos
\int 5^{t}\,\operatorname{sen}\bigl(5^{t}\bigr)\,dt = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{\ln(5)} = \frac{1}{\ln(5)}\int \operatorname{sen}(u)\,du.
Sabemos que
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C,
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\frac{1}{\ln(5)}\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\frac{1}{\ln(5)}\cos(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável original t (isto é, u=5^{t}), a primitiva fica
-\frac{1}{\ln(5)}\cos\bigl(5^{t}\bigr) + C.

Resposta

-\frac{1}{\ln(5)}\cos\bigl(5^{t}\bigr) + C

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