Encoatre a derivada direcional de f(x, y) \stackrel{i}{=} \cos (x) \cos (y) no ponto (\pi / 4, \pi / 4) na direcaùs do vetor \mathbf{u}=(-1,-3).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\cos(x)\cos(y)
no ponto \bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr) na direção do vetor \mathbf{u}=(-1,-3).
Conteúdo necessário: cálculo do gradiente de f e normalização de \mathbf{u}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\sin(x)\cos(y),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\cos(x)\sin(y).

Passo 3

Avalie as parciais em \bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr). Como \sin(\tfrac\pi4)=\cos(\tfrac\pi4)=\tfrac{\sqrt2}2, temos
\frac{\partial f}{\partial x}\Bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\Bigr)=-\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt2}2=-\frac12,
\frac{\partial f}{\partial y}\Bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\Bigr)=-\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt2}2=-\frac12.
Logo
\nabla f\Bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\Bigr)=\Bigl(-\tfrac12,\,-\tfrac12\Bigr).

Passo 4

Normalizamos \mathbf{u}=(-1,-3). O seu comprimento é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{10},
então o versor é
\mathbf{\hat u}=\frac{1}{\sqrt{10}}(-1,-3)=\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{10}},-\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional de f no ponto é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f\bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr) =\nabla f\bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr)\cdot\mathbf{\hat u} =\Bigl(-\tfrac12,-\tfrac12\Bigr)\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{10}},-\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr).
Fazendo as contas,
D_{\mathbf{u}}f\bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr) =\frac{-\tfrac12\cdot(-1)+(-\tfrac12)\cdot(-3)}{\sqrt{10}} =\frac{\tfrac12-\tfrac32}{\sqrt{10}} =-\frac{1}{\sqrt{10}}.

Resposta

D_{\mathbf{u}}f\Bigl(\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\Bigr)=-\frac{1}{\sqrt{10}}.

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