Questão 3

Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\begin{aligned} & x-y-z=-1 \\\ & 2 x+z=8 \\\ & -3 x+y+2 z=-5 \end{aligned}
É correto afirmar que esse sistema é:
(A) Possível e indeterminado, admitindo como solução x=-5, y=2 e z=4
(B) Impossivel
(C) Possível e determinado, admitindo como solução x=6, y=1 e z=6
(D) Possível e determinado, admitindo como solução x=7, y=0 e z=8
(E) Possível e determinado, admitindo como solução x=5, y=2 e $z=4

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares em três incógnitas (x,y,z)\): \[\begin{cases} x - y - z = -1,\\\\ 2x + z = 8,\\\\ -3x + y + 2z = -5. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistema linear (3\times3], e vamos usar eliminação de Gauss (substituição) para encontrar a solução e determinar se o sistema é possível e determinado.

Passo 2

Da segunda equação isolamos z:
2x + z = 8 \quad\Longrightarrow\quad z = 8 - 2x.

Passo 3

Substituímos z=8-2x na primeira equação x - y - z = -1:
x - y - (8 - 2x) = -1 \quad\Longrightarrow\quad x - y - 8 + 2x = -1 \quad\Longrightarrow\quad 3x - y = 7 \quad\Longrightarrow\quad y = 3x - 7.

Passo 4

Substituímos z=8-2x e y=3x-7 na terceira equação -3x + y + 2z = -5:
-3x + (3x - 7) + 2(8 - 2x) = -5.
Isso dá
-3x + 3x -7 + 16 -4x = -5 \quad\Longrightarrow\quad -4x +9 = -5 \quad\Longrightarrow\quad -4x = -14 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{7}{2}.

Passo 5

Com x=\tfrac{7}{2}, obtemos
y = 3\bigl(\tfrac{7}{2}\bigr) -7 = \tfrac{21}{2} - \tfrac{14}{2} = \tfrac{7}{2}, \qquad z = 8 - 2\bigl(\tfrac{7}{2}\bigr) = 8 - 7 = 1.
Logo o sistema admite única solução
(x,y,z) = \bigl(\tfrac{7}{2},\,\tfrac{7}{2},\,1\bigr),
ou seja, é possível e determinado.

Passo 6

Nenhuma das alternativas (A)–(E) apresenta \bigl(\tfrac{7}{2},\tfrac{7}{2},1\bigr) como solução, portanto não há alternativa correta dentre as oferecidas.

Resposta

Não há alternativa correta.

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