(2,0) Use o Teorema da Divergência para calcular \iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(x y,-\frac{1}{2} y^{2}, z\right) e S é a superfície delimitada por z=4-3 x^{2}-3 y^{2}, no topo, com 1 \leq z \leq 4; por x^{2}+y^{2}=1, nas laterais, com 0 \leq z \leq 1; e por z=0 em baixo.

Passo 1

O problema pede o fluxo
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S
onde \vec F(x,y,z)=(xy,\,-\tfrac12y^2,\,z) e S é a superfície fechada que envolve o sólido E descrito. Como o sólido é fechado, vamos usar o Teorema da Divergência, que diz:
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S \;=\;\iiint_{E}\!\bigl(\nabla\cdot \vec F\bigr)\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F:
\nabla\cdot \vec F =\frac{\partial}{\partial x}(xy)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\tfrac12y^2\bigr)+\frac{\partial}{\partial z}(z) = y - y + 1 = 1.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S =\iiint_{E}1\,dV =\text{Vol}(E).
O sólido E é dado em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) por:
  • Para 0\le z\le1 e 0\le r\le1 (cilindro de raio 1 e altura 1);
  • Para 1\le z\le 4-3r^2 e 0\le r\le1 (região sob o paraboloide z=4-3r^2 acima de z=1).
Vamos separar o volume em duas partes: a do cilindro e a do paraboloide.

Passo 4

Volume do cilindro:
V_{\rm cyl} =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}\bigl[r\,z\bigr]_{z=0}^{1}dr =2\pi\int_{0}^{1}r\,dr =\pi.

Passo 5

Volume da região sob o paraboloide:
V_{\rm par} =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{1}^{\,4-3r^{2}}r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}\bigl[(4-3r^2)-1\bigr]\,r\,dr =2\pi\int_{0}^{1}(3-3r^2)\,r\,dr.
Fazendo a integral em r:
2\pi\int_{0}^{1}(3r-3r^3)\,dr =2\pi\Bigl[\tfrac{3}{2}r^2-\tfrac{3}{4}r^4\Bigr]_{0}^{1} =2\pi\bigl(\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{4}\bigr) =\tfrac{3\pi}{2}.

Passo 6

Somando os volumes:
\text{Vol}(E) =V_{\rm cyl}+V_{\rm par} =\pi+\tfrac{3\pi}{2} =\tfrac{5\pi}{2}.
Logo, pelo Teorema da Divergência, o fluxo pedido é \tfrac{5\pi}{2}.

Resposta

\frac{5\pi}{2}.

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