(2,0) Use o Teorema da Divergência para calcular
, onde
e
é a superfície delimitada por
, no topo, com
; por
, nas laterais, com
; e por
em baixo.
Passo 1
O problema pede o fluxo
onde
e
é a superfície fechada que envolve o sólido
descrito. Como o sólido é fechado, vamos usar o Teorema da Divergência, que diz:
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
O sólido
é dado em coordenadas cilíndricas
por:
- Para
e (cilindro de raio 1 e altura 1); - Para
e (região sob o paraboloide acima de ).
Vamos separar o volume em duas partes: a do cilindro e a do paraboloide.
Passo 4
Volume do cilindro:
Passo 5
Volume da região sob o paraboloide:
Fazendo a integral em
:
Passo 6
Somando os volumes:
Logo, pelo Teorema da Divergência, o fluxo pedido é
.