Calcule a integral indefinida \int x^{2} \operatorname{sen}\left(x^{3}\right) d x como uma série infinita e determine seu intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\sin(x^{3})\,dx
usando expansão em série infinita e, em seguida, determinar o intervalo de convergência. Vamos usar a série de Maclaurin de \sin e integrar termo a termo.

Passo 2

A série de Maclaurin de \sin(z) é
\sin(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Fazendo a troca z=x^{3}, obtemos
\sin(x^{3}) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x^{3})^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{6n+3}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Multiplicando por x^{2}, a função a integrar vira
x^{2}\sin(x^{3}) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{6n+5}}{(2n+1)!}.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int x^{6n+5}\,dx =\frac{x^{6n+6}}{6n+6}+C.
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\int x^{2}\sin(x^{3})\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{6n+6}}{(2n+1)!\,(6n+6)}+C.

Passo 6

A série de \sin tem raio de convergência infinito e multiplicar por x^{2} ou integrar termo a termo não altera esse raio. Portanto o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).

Resposta

\int x^{2}\sin(x^{3})\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{6n+6}}{(2n+1)!\,(6n+6)}+C, \quad x\in(-\infty,\infty).

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