Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em
:
Queremos encontrar o raio de convergência
e o intervalo de convergência, ou seja, todos os
tais que a série converge.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz para séries de potências. Seja
Calculamos
A série converge se
, isto é,
Logo, o raio de convergência é
Passo 3
A condição
dá o intervalo aberto
Passo 4
Testamos os endpoints separadamente:
Essa é uma série alternante cujos termos
decrescem para zero. Pelo critério de Leibniz, converge (condicionalmente).
que é uma série do tipo
, e como
a série diverge (p-série com
).
Portanto, inclui-se
e exclui-se
.
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: