Encontre o raio e o intervalo de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{5^{n} \sqrt{n}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x=1:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{5^{n}\sqrt{n}}.
Queremos encontrar o raio de convergência R e o intervalo de convergência, ou seja, todos os x tais que a série converge.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz para séries de potências. Seja
a_n = \frac{1}{5^n\sqrt{n}} \quad\text{e}\quad u_n=(x-1)^n a_n.
Calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl|u_n\bigr|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{|x-1|^n}{5^n\sqrt{n}}} = \frac{|x-1|}{5}\,\lim_{n\to\infty} n^{-1/(2n)} = \frac{|x-1|}{5}.
A série converge se L<1, isto é,
\frac{|x-1|}{5}<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-1|<5.
Logo, o raio de convergência é
R = 5.

Passo 3

A condição |x-1|<5 dá o intervalo aberto
1-5 < x < 1+5 \quad\Longrightarrow\quad -4 < x < 6.

Passo 4

Testamos os endpoints separadamente:
1. Para x=-4: temos
(x-1)^n = (-5)^n \quad\Rightarrow\quad \frac{(x-1)^n}{5^n\sqrt{n}} = \frac{(-5)^n}{5^n\sqrt{n}} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}.
Essa é uma série alternante cujos termos \tfrac1{\sqrt{n}} decrescem para zero. Pelo critério de Leibniz, converge (condicionalmente).
2. Para x=6: temos
(x-1)^n = 5^n \quad\Rightarrow\quad \frac{(x-1)^n}{5^n\sqrt{n}} = \frac{5^n}{5^n\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}},
que é uma série do tipo \sum n^{-1/2}, e como 1/2\le1 a série diverge (p-série com p=1/2).
Portanto, inclui-se x=-4 e exclui-se x=6.

Resposta

Raio de convergência: R=5.
Intervalo de convergência: \bigl[-4,6\bigr).

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