\int_{\xi} \vec{K} \cdot d \vec{l}= ?
\vec{K}(x, y, z)=\left(z-y,-z+\lambda_{1}(y), \lambda_{2}(z)\right)
Onde:
  • \xi é a interseção de x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \mathrm{com} y=1,
  • orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral de linha
\oint_{\xi}\vec K\cdot d\vec l
onde \vec K(x,y,z)=(z-y,\,-z+\lambda_{1}(y),\,\lambda_{2}(z)) e \xi é o círculo de interseção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com o plano y=1, orientado anti-horário quando visto de cima (isto é, visto ao longo do eixo +y). Vamos usar o Teorema de Stokes, pois \xi é fronteira de um disco S no plano y=1.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \vec K: escrevendo \vec K=(P,Q,R) com
P=z-y,\quad Q=-z+\lambda_{1}(y),\quad R=\lambda_{2}(z),
temos
\nabla\times\vec K =\Bigl(\pdv{R}{y}-\pdv{Q}{z},\;\pdv{P}{z}-\pdv{R}{x},\;\pdv{Q}{x}-\pdv{P}{y}\Bigr).
Como \lambda_{1} depende só de y e \lambda_{2} só de z,
\pdv{R}{y}=0,\quad \pdv{Q}{z}=-1,\quad \pdv{P}{z}=1,\quad \pdv{R}{x}=0,\quad \pdv{Q}{x}=0,\quad \pdv{P}{y}=-1.
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\nabla\times\vec K=(0-(-1),\,1-0,\,0-(-1))=(1,1,1).

Passo 3

Escolhemos S como o disco de raio \sqrt{4-1^{2}}=\sqrt{3} no plano y=1. A orientação anti-horário vista de cima (eixo +y) corresponde à normal de superfície
\hat n=(0,1,0).
Pelo Teorema de Stokes:
\oint_{\xi}\vec K\cdot d\vec l =\iint_{S}(\nabla\times\vec K)\cdot\hat n\,dS.

Passo 4

No disco S temos (\nabla\times\vec K)\cdot\hat n=(1,1,1)\cdot(0,1,0)=1. Assim
\iint_{S}(\nabla\times\vec K)\cdot\hat n\,dS =\iint_{S}1\,dS =\text{área}(S) =\pi(\sqrt{3})^{2} =3\pi.á

Resposta

\oint_{\xi}\vec K\cdot d\vec l = 3\pi.

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