Determine tanto a série de Fourier do senos como a série de Fourier dos cossenos das funções abaixo. Estude as séries obtidas quanto à convergência e esboce o gráfico das extensões periódicas par e ímpar. f(x)=\pi-x para x \in(0, \pi];
Passo 1
O enunciado pede as expansões em série de Fourier de meia-onda de f(x)=\pi - x em (0,\pi], tanto como série de senos (extensão ímpar) quanto como série de cossenos (extensão par). O conteúdo é “meia-série de Fourier” em (0,\pi). Para a parte ímpar usamos
Convergência da série de senos. Em todo 0<x<\pi ela converge para f(x)=\pi - x. Nos pontos de quebra da extensão ímpar, x=0 e x=\pi, o valor-limite é a média dos limites laterais, que coincide com 0.
Gráfico da extensão ímpar periódica de período 2\pi. Em (0,\pi) é a reta decrescente de f(0^+)=\pi até f(\pi^-)=0. Em (-\pi,0) é o reflexo ímpar, reta de 0 em x=-\pi até 0 em x=0. Este padrão repete-se com período 2\pi, formando uma onda triangular ímpar.
Passo 4
Cálculo dos coeficientes da série de cossenos. Primeiro
Convergência da série de cossenos. Em 0<x<\pi converge para \pi - x. Nos pontos x=0 e x=\pi converge para a média dos valores da extensão par, que são f(0)=\pi e f(\pi)=0.
Gráfico da extensão par periódica de período 2\pi. Em [-\pi,\pi] é a função \pi-|x|, picô no centro (0,\pi) decaindo linear até zero em x=\pm\pi. Este “V” invertido repete-se a cada 2\pi.
Em (0,\pi) as duas séries convergem para f(x). Nos extremos convergem para o valor médio dos saltos. A extensão ímpar forma uma onda triangular de período 2\pi e a extensão par forma um “V” invertido de mesmo período.