Determine tanto a série de Fourier do senos como a série de Fourier dos cossenos das funções abaixo. Estude as séries obtidas quanto à convergência e esboce o gráfico das extensões periódicas par e ímpar.
f(x)=\pi-x para x \in(0, \pi];

Passo 1

O enunciado pede as expansões em série de Fourier de meia-onda de f(x)=\pi - x em (0,\pi], tanto como série de senos (extensão ímpar) quanto como série de cossenos (extensão par). O conteúdo é “meia-série de Fourier” em (0,\pi). Para a parte ímpar usamos
b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx,\quad f(x)\sim \sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx).
Para a parte par usamos
a_0 = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\cos(nx)\,dx, \quad f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx).

Passo 2

Cálculo dos coeficientes da série de senos.
b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(\pi - x)\sin(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes com u=\pi-x, dv=\sin(nx)\,dx obtém-se
\int_{0}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx =\biggl[-\frac{\pi-x}{n}\cos(nx)-\frac{1}{n^2}\sin(nx)\biggr]_0^\pi =\frac{\pi}{n}.
Logo
b_n = \frac{2}{\pi}\,\frac{\pi}{n} = \frac{2}{n}.
Portanto a série de senos é
f(x)\sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n}\sin(nx).

Passo 3

Convergência da série de senos. Em todo 0<x<\pi ela converge para f(x)=\pi - x. Nos pontos de quebra da extensão ímpar, x=0 e x=\pi, o valor-limite é a média dos limites laterais, que coincide com 0.
Gráfico da extensão ímpar periódica de período 2\pi. Em (0,\pi) é a reta decrescente de f(0^+)=\pi até f(\pi^-)=0. Em (-\pi,0) é o reflexo ímpar, reta de 0 em x=-\pi até 0 em x=0. Este padrão repete-se com período 2\pi, formando uma onda triangular ímpar.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes da série de cossenos. Primeiro
a_0 = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(\pi-x)\,dx =\frac{2}{\pi}\Bigl[\pi x-\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_0^\pi =\pi,
de onde a_0/2=\pi/2. Para n\ge1, integração por partes com u=\pi-x, dv=\cos(nx)\,dx
\int_{0}^{\pi}(\pi-x)\cos(nx)\,dx =\biggl[\frac{\pi-x}{n}\sin(nx)-\frac{1}{n^2}\cos(nx)\biggr]_0^\pi =\frac{1-(-1)^n}{n^2}.
Logo
a_n = \frac{2}{\pi}\,\frac{1-(-1)^n}{n^2} =\begin{cases} \displaystyle \frac{4}{\pi n^2},&n\text{ ímpar},\\[6pt] 0,&n\text{ par}. \end{cases}í
Assim a série de cossenos é
f(x)\sim \frac{\pi}{2} +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^\infty \frac{4}{\pi n^2}\cos(nx).]

Passo 5

Convergência da série de cossenos. Em 0<x<\pi converge para \pi - x. Nos pontos x=0 e x=\pi converge para a média dos valores da extensão par, que são f(0)=\pi e f(\pi)=0.
Gráfico da extensão par periódica de período 2\pi. Em [-\pi,\pi] é a função \pi-|x|, picô no centro (0,\pi) decaindo linear até zero em x=\pm\pi. Este “V” invertido repete-se a cada 2\pi.

Resposta

Série de senos (extensão ímpar):
f(x)=\pi - x\sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n}\,\sin(nx).
Série de cossenos (extensão par):
f(x)=\pi - x\sim \frac{\pi}{2} +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^\infty \frac{4}{\pi n^2}\,\cos(nx).
Em (0,\pi) as duas séries convergem para f(x). Nos extremos convergem para o valor médio dos saltos. A extensão ímpar forma uma onda triangular de período 2\pi e a extensão par forma um “V” invertido de mesmo período.

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