Calcule a integral indefinida.
\int(x+1) \sqrt{2 x} dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (x+1)\sqrt{2x}\,dx.
O conteúdo aqui é manipular a raiz para transformá-la em potência e depois aplicar a regra de potência na integração.

Passo 2

Escrevemos \sqrt{2x} = \sqrt{2}\,\sqrt{x} = \sqrt{2}\,x^{1/2}. Assim o integrando fica
(x+1)\sqrt{2x} = \sqrt{2}\,(x+1)x^{1/2} = \sqrt{2}\,\bigl(x^{3/2}+x^{1/2}\bigr).

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando a regra \int x^n\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}. Temos
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}, \quad \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 4

Multiplicando cada resultado por \sqrt{2}, obtemos
\int (x+1)\sqrt{2x}\,dx = \sqrt{2}\,\Bigl(\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2}\Bigr) + C = \frac{2\sqrt{2}}{5}\,x^{5/2} + \frac{2\sqrt{2}}{3}\,x^{3/2} + C.

Resposta

\int (x+1)\sqrt{2x}\,dx = \frac{2\sqrt{2}}{5}\,x^{5/2} + \frac{2\sqrt{2}}{3}\,x^{3/2} + C.

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