Questão 5
Ainda não respondida
Vale 2,00 ponto(s).
A função h(x, y)=\left\{\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right., se (x, y) \neq(0,0) é continua em 0 , se (x, y)=(0,0)
(0,0) ?
a. Não, porque o limite é diferente do valor da função em (0,0).
b. Não, porque o limite da função em (0,0) não existe.
c. Sim, porque o limite da função em (0,0) é igual ao valor da função nesse ponto.
d. Sim, mas apenas ao longo do eixo x .
e. Não, porque a função não está definida em (0,0).

Passo 1

O enunciado define
h(x,y) = \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pergunta se h é contínua em (0,0). Para isso precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
e comparar com h(0,0)=0.

Passo 2

Para avaliar o limite, usamos coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta). Então
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{r^{2}\cos^{2}\theta}{\sqrt{r^{2}}} =\frac{r^{2}\cos^{2}\theta}{r} =r\,\cos^{2}\theta.

Passo 3

Como \bigl|r\cos^{2}\theta\bigr|\le r e \lim_{r\to0}r=0, pelo Teorema do Confronto temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.

Passo 4

Como o valor da função em (0,0) é h(0,0)=0 e o limite também vale 0, concluímos que h é contínua em (0,0).

Resposta

c. Sim, porque o limite da função em (0,0) é igual ao valor da função nesse ponto.

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