Calcule a integral indefinida.
\int x\left(1+x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\displaystyle \int x\bigl(1+x^{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a integração de polinômios usando a regra de potência
\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Vamos expandir o integrando:
x\bigl(1+x^{3}\bigr) = x + x^{4}.
Logo,
\int x\bigl(1+x^{3}\bigr)\,dx = \int (x + x^{4})\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência a cada termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \qquad \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, temos
\int x\bigl(1+x^{3}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{5}}{5} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{5}}{5} + C

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