Calcule a integral indefinida.
\int\left[\frac{10}{x^{3 / 4}}-\sqrt[3]{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl[\frac{10}{x^{3/4}}-\sqrt[3]{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}\Bigr]dx.
O conteúdo principal aqui é a regra de potência para integrais:
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando potências de x:
10x^{-3/4}-x^{1/3}+4x^{-1/2}.

Passo 3

Para o termo 10x^{-3/4}, aplicamos a regra de potência:
\int 10x^{-3/4}dx =10\cdot\frac{x^{-3/4+1}}{-3/4+1} =10\cdot\frac{x^{1/4}}{1/4} =40x^{1/4}.

Passo 4

Para o termo -x^{1/3}:
\int(-x^{1/3})dx =-\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} =-\frac{x^{4/3}}{4/3} =-\frac{3}{4}x^{4/3}.

Passo 5

Para o termo 4x^{-1/2}:
\int4x^{-1/2}dx =4\cdot\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} =4\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2} =8x^{1/2}.

Passo 6

Somando todas as partes e adicionando a constante C, obtemos a primitiva completa.

Resposta

40x^{1/4}-\frac{3}{4}x^{4/3}+8x^{1/2}+C

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