Calcule a integral indefinida.
\int\left[x^{-3}-3 x^{1 / 4}+8 x^{2}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função
x^{-3} - 3\,x^{\tfrac14} + 8\,x^{2}
Logo, o conteúdo é a regra da potência para integrais, que diz que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar em três termos:
\int\bigl[x^{-3} - 3\,x^{\tfrac14} + 8\,x^{2}\bigr]dx = \int x^{-3}dx \;-\; 3\int x^{\tfrac14}dx \;+\; 8\int x^{2}dx.

Passo 3

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo, com n=-3:
\int x^{-3}dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}\,x^{-2}.

Passo 4

Para o segundo termo, com n=\tfrac14:
\int x^{\tfrac14}dx = \frac{x^{\tfrac14+1}}{\tfrac14+1} = \frac{x^{\tfrac54}}{\tfrac54} = \frac{4}{5}\,x^{\tfrac54}.
Multiplicando pelo coeficiente -3
-3\int x^{\tfrac14}dx = -3\cdot\frac{4}{5}\,x^{\tfrac54} = -\frac{12}{5}\,x^{\tfrac54}.

Passo 5

Para o terceiro termo, com n=2:
\int x^{2}dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3}}{3}.
Multiplicando por 8 resulta
8\int x^{2}dx = \frac{8}{3}\,x^{3}.

Passo 6

Somando os três resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl[x^{-3} - 3\,x^{\tfrac14} + 8\,x^{2}\bigr]dx = -\frac{1}{2}\,x^{-2} -\frac{12}{5}\,x^{\tfrac54} +\frac{8}{3}\,x^{3} + C.

Resposta

-\frac{1}{2}\,x^{-2} -\frac{12}{5}\,x^{\tfrac54} +\frac{8}{3}\,x^{3} + C

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