Calcule a integral indefinida.
\int\left(1+x^{2}\right)(2-x) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função (1+x^{2})(2-x). O conteúdo aqui é integral indefinida de um polinômio: vamos usar a linearidade da integral e a regra da potência \int x^n dx = x^{n+1}/(n+1).

Passo 2

Primeiro expandimos o produto:
(1+x^{2})(2-x) = 2 - x + 2x^{2} - x^{3}.

Passo 3

Pela linearidade, temos
\int(1+x^{2})(2-x)\,dx = \int(2 - x + 2x^{2} - x^{3})\,dx = \int2\,dx - \int x\,dx + \int2x^{2}\,dx - \int x^{3}\,dx.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência em cada termo:
\int2\,dx = 2x,
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},
\int2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{2x^{3}}{3},
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.

Passo 5

Reunindo os resultados com os sinais apropriados e incluindo a constante C, obtenemos
2x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + C.

Resposta

-\frac{x^{4}}{4} + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2x + C.

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