Calcule a integral indefinida.
\int\left[\frac{2}{x}+3 e^{x}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função
f(x)=\frac{2}{x}+3e^x.
O conteúdo principal aqui é a propriedade de linearidade da integral, além das regras básicas:
\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert+C
\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C

Passo 2

Aplicando a linearidade, separamos a integral em duas partes:
\int\Bigl[\frac{2}{x}+3e^x\Bigr]\,dx =\int \frac{2}{x}\,dx \;+\;\int 3e^x\,dx.

Passo 3

Na primeira parcela, tiramos a constante 2 para fora da integral:
\int \frac{2}{x}\,dx =2\int \frac{1}{x}\,dx =2\ln\lvert x\rvert +C_1.

Passo 4

Na segunda parcela, tiramos a constante 3 para fora:
\int 3e^x\,dx =3\int e^x\,dx =3e^x +C_2.

Passo 5

Somando as duas partes e unificando as constantes ( C=C_1+C_2), obtemos:
\int\Bigl[\frac{2}{x}+3e^x\Bigr]\,dx =2\ln\lvert x\rvert +3e^x +C.

Resposta

2\ln\lvert x\rvert +3e^x +C

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