Exercício: Considere que E é a esfera sólida de centro 0 e raio 1 , sejam f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e g(x, y, z)=1 / 2-f(x, y, z), calcule a integral tripla de f \partial_{1} g em E utilizando a fórmula de integração por partes.

Passo 1

O enunciado define a região E como a esfera sólida centrada na origem de raio 1, e as funções
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, \quad g(x,y,z)=\tfrac12 - (x^2+y^2+z^2).
Queremos calcular a integral tripla
\int_{E} f\,\partial_{1}g \,dV
usando a fórmula de integração por partes (a versão para integrais em \mathbb{R}^3).

Passo 2

A fórmula de integração por partes em \mathbb{R}^3 para derivada parcial \partial_1 é
\int_{E} f \,\partial_{1}g \,dV = \int_{\partial E} f\,g\,n_{1}\,dS - \int_{E} (\partial_{1}f)\,g \,dV,
onde n_{1} é a primeira componente do vetor normal unitário exterior em \partial E.

Passo 3

Na fronteira \partial E temos x^2+y^2+z^2=1, logo
f\big|_{\partial E}=1, \quad g\big|_{\partial E}=\tfrac12-1=-\tfrac12, \quad n_{1}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=x.
Portanto o termo de superfície é
\int_{\partial E} f\,g\,n_{1}\,dS =\int_{\partial E} (1)\Bigl(-\tfrac12\Bigr)\,x\,dS =-\tfrac12\int_{\partial E} x\,dS.
Por simetria da esfera \displaystyle \int_{\partial E} x\,dS=0, então esse termo vale 0.

Passo 4

Resta o volume
-\int_{E}(\partial_{1}f)\,g\,dV.
Como \partial_{1}f=2x e g=\tfrac12 - f, isto é
-\int_{E}2x\Bigl(\tfrac12 - (x^2+y^2+z^2)\Bigr)\,dV =-2\int_{E}\bigl(\tfrac x2 - x(x^2+y^2+z^2)\bigr)\,dV.
O termo \int_{E}x\,dV é zero por simetria ímpar em x, e também \int_{E}x(x^2+y^2+z^2)\,dV é zero pelo mesmo motivo. Logo esse volume é 0.

Resposta

\int_{E} f\,\partial_{1}g \,dV = 0.

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