Integrar as funções:
\int \frac{d x}{\sqrt{\left(4 x^{2}+12 x+34\right)^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
\int \frac{dx}{\sqrt{\bigl(4x^{2}+12x+34\bigr)^{3}}}
O conteúdo principal aqui é integrar uma função do tipo \bigl(Q(x)\bigr)^{-3/2}, onde Q(x) é um polinômio quadrático. Vamos precisar completar o quadrado em 4x^2+12x+34 e depois usar uma substituição que leve a uma integral padrão \displaystyle \int\frac{du}{\bigl(u^2+a^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em 4x^2+12x+34.
4x^2+12x+34 =4\bigl(x^2+3x\bigr)+34 =4\Bigl((x+\tfrac32)^2-\tfrac{9}{4}\Bigr)+34 =4(x+\tfrac32)^2-9+34 =4(x+\tfrac32)^2+25.

Passo 3

Reescrevendo o integrando com esse resultado, temos
\int \frac{dx}{\bigl(4(x+\tfrac32)^2+25\bigr)^{3/2}}
Agora fatoramos 4 dentro da potência:
4(x+\tfrac32)^2+25 =4\Bigl((x+\tfrac32)^2+\tfrac{25}{4}\Bigr),
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\bigl(4(x+\tfrac32)^2+25\bigr)^{3/2} =4^{3/2}\Bigl((x+\tfrac32)^2+\tfrac{25}{4}\Bigr)^{3/2} =8\,\Bigl((x+\tfrac32)^2+(\tfrac52)^2\Bigr)^{3/2}.
Assim a integral fica
\int \frac{dx}{8\,\bigl((x+\tfrac32)^2+(\tfrac52)^2\bigr)^{3/2}} =\frac{1}{8}\,\int \frac{dx}{\bigl((x+\tfrac32)^2+(\tfrac52)^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 4

Fazemos a substituição mais simples:
u = x+\tfrac32, \quad du = dx.
Então
\frac{1}{8}\,\int \frac{dx}{\bigl(u^2+(\tfrac52)^2\bigr)^{3/2}} =\frac{1}{8}\,\int \frac{du}{\bigl(u^2+a^2\bigr)^{3/2}},
onde a=\tfrac52. É conhecida a fórmula
\int \frac{du}{\bigl(u^2+a^2\bigr)^{3/2}} =\frac{u}{a^2\,\sqrt{u^2+a^2}}+C.
Aplicando aqui,
\frac{1}{8}\,\frac{u}{a^2\sqrt{u^2+a^2}} =\frac{1}{8}\,\frac{u}{(\tfrac52)^2\,\sqrt{u^2+(\tfrac52)^2}} =\frac{u}{8\cdot\frac{25}{4}\,\sqrt{u^2+\frac{25}{4}}} =\frac{u}{50\,\sqrt{u^2+\tfrac{25}{4}}}+C.

Passo 5

Voltando a x, note que
\sqrt{u^2+\tfrac{25}{4}} =\sqrt{(x+\tfrac32)^2+\tfrac{25}{4}} =\frac{\sqrt{4(x+\tfrac32)^2+25}}{2} =\frac{\sqrt{4x^2+12x+34}}{2}.
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\frac{u}{50\,\sqrt{u^2+\tfrac{25}{4}}} =\frac{x+\tfrac32}{50\,\bigl(\frac{\sqrt{4x^2+12x+34}}{2}\bigr)} =\frac{x+\tfrac32}{25\,\sqrt{4x^2+12x+34}}+C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{\sqrt{\bigl(4x^{2}+12x+34\bigr)^{3}}} =\frac{x+\tfrac32}{25\,\sqrt{4x^2+12x+34}}+C. }

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