Calcule a integral indefinida.
integral 1sen^-1(x) raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1sen^-1(x),raiz1-x^2,dx
O conteúdo que vamos usar é a substituição que aproveita a relação entre x e a sua função inversa sen^-1(x).

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = sen^-1(x),
de modo que
x = sen(u), dx = cos(u),du, raiz1 - x^2 = raiz1 - sen^2(u) = cos(u)
(no intervalo -tfracpi2<= u<= tfracpi2, temos cos(u)>=0). Substituindo na integral:
integral 1u,raiz1 - x^2,dx = integral 1u,cos(u);cos(u),du = integral 1u,du

Passo 3

A integral de tfrac1u é
integral 1u,du = lnl|ur| + C

Passo 4

Voltando à variável original, u = sen^-1(x). Portanto o resultado final é
lnl|sen^-1(x)r| + C

Resposta

lnl|sen^-1(x)r| + C

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