Escreva uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada. Calcule o volume do sólido.
y=0, y=sen x, 0 <= x <= pi, em torno da reta y=-2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido rotacionando em torno da reta y=-2 a região limitada por y=0, y=sin x e 0<= x<=pi. O conteúdo é cálculo de volume por discos (ou anéis), onde usamos seções transversais perpendiculares a x.

Passo 2

Para cada xin[0,pi] a rotação gera um anel cuja borda exterior fica na altura y=sin x e a borda interior em y=0. As distâncias dessas curvas à reta y=-2 são os raios:
R(x)=sin x-(-2)=sin x+2,
r(x)=0-(-2)=2

Passo 3

A área do anel em abscissa x é
A(x)=pil(R(x)^2-r(x)^2r) =pil((sin x+2)^2-2^2r) =pil(sin^2x+4sin xr)

Passo 4

O volume do sólido é a integral dessas áreas de x=0 a x=pi:
V=integral0^piA(x),dx =piintegral0^pil(sin^2x+4sin xr),dx

Passo 5

Calculemos separadamente:
integral0^pisin^2x,dx=pi2, integral0^pisin x,dx=2
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V =pil(tfracpi2+4cdot2r) =pil(tfracpi2+8r)

Resposta

V=pil(pi2+8r) =pi^22+8pi

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