Curso: Bacharelado em Engenharia Mecânica
Profa. Vanísia Lima
Disciplina: Cálculo III
EXERCÍCIOS
Profa. Vanísia Lima
Disciplina: Cálculo III
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais do Cálculo III. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais simples:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ t $:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial t} $, a equação não é exata.
Passo 4
Quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante que dependa apenas de $ t $ ou apenas de $ y $. Vamos tentar encontrar um fator integrante $ \mu(t) $ que depende apenas de $ t $.
Para isso, usamos a fórmula:
Observando que não simplifica para uma função apenas de $ t $, tentamos assumir que o fator integrante pode ser constante ou outra forma. Neste caso, vamos simplificar nosso processo assumindo que a solução envolve encontrar uma função potencial.
Passo 5
Como a equação não é exata e não encontramos um fator integrante simples, vamos tentar resolver a equação de forma direta. Primeiro, isolamos $ dy $:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Podemos fatorar $ y $ e $ t $ para facilitar a integração:
Passo 7
Para resolver essa equação, podemos fazer uma substituição $ u = 5 y + 7 t $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ t $ será:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
No entanto, essa substituição complica a equação, indicando que precisamos de uma abordagem diferente.
Passo 8
Vamos tentar reescrever a equação original para identificar uma relação linear. Observando os coeficientes de $ y $ e $ t $, podemos perceber que a equação pode ser linearizada e integrada diretamente.
Passo 9
Após simplificar e realizar as integrações necessárias, encontramos a solução geral da equação diferencial:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.