Um pacote de 5 kg desliza para baixo de uma rampa inclinada
abaixo da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o pacote e a rampa e
. Calcule (a) o trabalho realizado sobre o pacote pelo atrito; (b) o trabalho realizado sobre o pacote pela gravidade; © o trabalho realizado sobre o pacote pela forca normal; (d) o trabalho total realizado sobre o pacote. (e) Se o pacote possui uma velocidade de
no topo da rampa, qual é sua velocidade depois de descer
ao longo da rampa?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um pacote de 5 kg que está descendo uma rampa inclinada de
em relação à horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o pacote e a rampa é
. A gente precisa calcular diferentes trabalhos realizados sobre o pacote: pelo atrito, pela gravidade, pela força normal, o total e também determinar a velocidade do pacote após descer 2,8 metros na rampa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho, forças atuantes em planos inclinados e as leis de conservação de energia.
Passo 2
(a) Trabalho realizado sobre o pacote pelo atrito
Primeiro, vamos calcular o trabalho feito pela força de atrito. O trabalho (
) é dado pela fórmula:
Onde:
-
é a força, -
é a distância, -
é o ângulo entre a força e o deslocamento.
Aqui, a força de atrito (
) é:
A força normal (
) em uma rampa inclinada é:
Onde:
-
, -
, -
.
Então, calculando
:
Agora, a força de atrito:
O trabalho feito pelo atrito é negativo porque a força de atrito age na direção oposta ao movimento:
Passo 3
(b) Trabalho realizado sobre o pacote pela gravidade
A força da gravidade que realiza trabalho ao longo da rampa é a componente do peso na direção do movimento. Essa componente é:
Calculando:
O trabalho realizado pela gravidade é:
Já que a gravidade está na mesma direção do deslocamento, o cosseno do ângulo é 0 (cos 0° = 1):
Passo 4
© Trabalho realizado sobre o pacote pela força normal
A força normal é perpendicular ao deslocamento na rampa. Quando a força é perpendicular, o ângulo
entre a força e o deslocamento é
, e
. Portanto, o trabalho realizado pela força normal é:
Passo 5
(d) Trabalho total realizado sobre o pacote
O trabalho total é a soma dos trabalhos realizados por todas as forças:
Como
, temos:
Passo 6
(e) Velocidade do pacote depois de descer 2,8 m na rampa
Vamos usar o teorema do trabalho e energia, que diz que o trabalho total realizado é igual à variação da energia cinética:
Onde:
-
(velocidade inicial), -
é a velocidade final que queremos encontrar.
Substituindo
:
Calculando:
Resposta
(a) Trabalho pelo atrito:
;
(b) Trabalho pela gravidade:
;
© Trabalho pela força normal:
;
(d) Trabalho total:
;
(e) A velocidade do pacote após descer 2,8 m na rampa é aproximadamente
.