Um pacote de 5 kg desliza para baixo de uma rampa inclinada 24^circ abaixo da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o pacote e a rampa e muc=0,31. Calcule (a) o trabalho realizado sobre o pacote pelo atrito; (b) o trabalho realizado sobre o pacote pela gravidade; © o trabalho realizado sobre o pacote pela forca normal; (d) o trabalho total realizado sobre o pacote. (e) Se o pacote possui uma velocidade de 2,2 m / s no topo da rampa, qual é sua velocidade depois de descer 2,8 m ao longo da rampa?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um pacote de 5 kg que está descendo uma rampa inclinada de 24^circ em relação à horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o pacote e a rampa é muc = 0,31. A gente precisa calcular diferentes trabalhos realizados sobre o pacote: pelo atrito, pela gravidade, pela força normal, o total e também determinar a velocidade do pacote após descer 2,8 metros na rampa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho, forças atuantes em planos inclinados e as leis de conservação de energia.

Passo 2

(a) Trabalho realizado sobre o pacote pelo atrito
Primeiro, vamos calcular o trabalho feito pela força de atrito. O trabalho ( W) é dado pela fórmula:
W = F times d times cos(theta)
Onde:
  • F é a força,
  • d é a distância,
  • theta é o ângulo entre a força e o deslocamento.
Aqui, a força de atrito ( Fatrito) é:
Fatrito = muc times N
A força normal ( N) em uma rampa inclinada é:
N = m times g times cos(alpha)
Onde:
  • m = 5 , kg,
  • g = 9,8 , m/s^2,
  • alpha = 24^circ.
Então, calculando N:
N = 5 times 9,8 times cos(24^circ) approx 5 times 9,8 times 0,9135 approx 44,8 , N
Agora, a força de atrito:
Fatrito = 0,31 times 44,8 approx 13,9 , N
O trabalho feito pelo atrito é negativo porque a força de atrito age na direção oposta ao movimento:
Watrito = -Fatrito times d

Passo 3

(b) Trabalho realizado sobre o pacote pela gravidade
A força da gravidade que realiza trabalho ao longo da rampa é a componente do peso na direção do movimento. Essa componente é:
Fgravidade = m times g times sin(alpha)
Calculando:
Fgravidade = 5 times 9,8 times sin(24^circ) approx 5 times 9,8 times 0,4067 approx 19,93 , N
O trabalho realizado pela gravidade é:
Wgravidade = Fgravidade times d
Já que a gravidade está na mesma direção do deslocamento, o cosseno do ângulo é 0 (cos 0° = 1):
Wgravidade = 19,93 times d

Passo 4

© Trabalho realizado sobre o pacote pela força normal
A força normal é perpendicular ao deslocamento na rampa. Quando a força é perpendicular, o ângulo theta entre a força e o deslocamento é 90^circ, e cos(90^circ) = 0. Portanto, o trabalho realizado pela força normal é:
Wnormal = N times d times cos(90^circ) = 0

Passo 5

(d) Trabalho total realizado sobre o pacote
O trabalho total é a soma dos trabalhos realizados por todas as forças:
Wtotal = Wgravidade + Watrito + Wnormal
Como Wnormal = 0, temos:
Wtotal = 19,93 times d - 13,9 times d = (19,93 - 13,9) times d = 6,03 times d

Passo 6

(e) Velocidade do pacote depois de descer 2,8 m na rampa
Vamos usar o teorema do trabalho e energia, que diz que o trabalho total realizado é igual à variação da energia cinética:
Wtotal = De
Onde:
  • vi = 2,2 , m/s (velocidade inicial),
  • vf é a velocidade final que queremos encontrar.
Substituindo Wtotal:
6,03 times 2,8 = 12 times 5 times vf^2 - 12 times 5 times (2,2)^2
Calculando:
16,884 = 2,5 vf^2 - 2,5 times 4,84
16,884 = 2,5 vf^2 - 12,1
16,884 + 12,1 = 2,5 vf^2
28,984 = 2,5 vf^2
vf^2 = 28,9842,5 approx 11,594
vf approx raiz11,594 approx 3,406 , m/s

Resposta

(a) Trabalho pelo atrito: Watrito approx -13,9 times d , J;
(b) Trabalho pela gravidade: Wgravidade approx 19,93 times d , J;
© Trabalho pela força normal: Wnormal = 0 , J;
(d) Trabalho total: Wtotal approx 6,03 times d , J;
(e) A velocidade do pacote após descer 2,8 m na rampa é aproximadamente 3,41 , m/s.

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