3- Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Nesse exercício temos uma coleção de 20 integrais indefinidas envolvendo funções trigonométricas e expressões algébricas com raízes quadradas. Para resolvê-las, vamos agrupar por tipo de integranda e aplicar as técnicas adequadas: substiuição de Weierstrass (t = tan(x/2)) para funções racionais em sen x e cos x, identidades trigonométricas diretas, substituições algébricas ou trigonométricas para raízes quadráticas e substituições simples quando aparecer e^x.
Passo 2
Para as integrais da forma
usamos t = tan(x/2), com sen x = 2t/(1+t^2), cos x = (1–t2)/(1+t2) e dx = 2 dt/(1+t^2).
Para as integrais com ou
usamos identidades como 1–cos x = 2 sin^2(x/2) e 1+cos x = 2 cos^2(x/2), levando a substituições trigonométricas diretas.
Para as integrais com raiz quadrada de polinômio completamos o quadrado e aplicamos substituições trigonométricas (ou hiperbólicas) adequadas ao sinal de
e à forma do discriminante.
Para as integrais envolvendo em função trigonométrica de
, fazemos
, transformando a integral em função racional de sen u e cos u – seguida da mesma técnica de Weierstrass.
Para as integrais com
Para as integrais com raiz quadrada de polinômio
Para as integrais envolvendo
Passo 3
A seguir, apresento as antiderivadas obtidas para cada uma das 20 integrais.
Resposta
- ∫\frac{2}{\sin x+\tan x}dx=2\ln\bigl|\tan\frac x2\bigr|+C
- ∫\frac{dx}{4+5\cos x}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\Bigl(\sqrt{3}\tan\frac x2\Bigr)+C
- ∫\frac{dx}{3+\cos x}=\frac{2}{\sqrt{8}}\arctan\Bigl(\sqrt{\tfrac{1}{2}}\tan\frac x2\Bigr)+C
- ∫\frac{dx}{1-\cos x}=-\cot\frac x2+C
- ∫\frac{1+\cos x}{1-\sin x}dx=\ln\Bigl|\frac{1-\sin x}{1+\cos x}\Bigr|+C
- ∫\frac{dx}{3+\sin2x}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\Bigl|\frac{\tan x-1+\sqrt{2}}{\tan x-1-\sqrt{2}}\Bigr|+C
- ∫\frac{\cos(2t-1)}{2-\cos(2t-1)}dt= t-\sqrt{3}\arctan\Bigl(\frac{\tan(t-\tfrac12)}{\sqrt{3}}\Bigr)+C
- ∫\frac{dt}{3+\sin t+\cos t}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\Bigl|\frac{\tan(\tfrac t2+\tfrac{\pi}{8})}{\tan(\tfrac t2-\tfrac{\pi}{8})}\Bigr|+C
- ∫\frac{e^x}{4\sin e^x-3\cos e^x}dx=\ln\bigl|4\sin e^x-3\cos e^x\bigr|+C
- ∫\frac{\cos\theta}{1+\cos\theta}d\theta=\theta-2\tan\frac{\theta}{2}+C
- ∫\frac{dx}{x\sqrt{5x-x^2-6}}=-\frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{3-2x+2\sqrt{x(5-x)-6}}{x}\Bigr|+C
- ∫\frac{dx}{(x+4)\sqrt{x2+4x+9}}=\frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{x+4-\sqrt{x2+4x+9}}{x+4+\sqrt{x^2+4x+9}}\Bigr|+C
- ∫\frac{dx}{x\sqrt{4x2+x-3}}=\frac{1}{\sqrt{13}}\ln\Bigl|\frac{4x-1-2\sqrt{4x2+x-3}}{x}\Bigr|+C
- ∫\frac{dx}{\sqrt{1+x+x2}}=\ln\Bigl|2x+1+2\sqrt{1+x+x2}\Bigr|+C
- ∫\frac{dx}{x\sqrt{2+x-x2}}=-\ln\Bigl|\frac{x+\sqrt{2+x-x2}}{x}\Bigr|+C
- ∫\frac{x+1}{(2x+x2)\sqrt{2x+x2}}dx=-\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\Bigl|\frac{\sqrt{2x+x2}-\sqrt{2}}{\sqrt{2x+x2}+\sqrt{2}}\Bigr|+C
- ∫\frac{dx}{(x-1)\sqrt{x2-2x-3}}=\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{x-1-\sqrt{x2-2x-3}}{x-1+\sqrt{x^2-2x-3}}\Bigr|+C
- ∫\frac{1-\sqrt{1+x+x2}}{2x2\sqrt{1+x+x2}}dx=\frac{1}{x}-\ln\Bigl|\frac{1+2x-\sqrt{1+x+x2}}{x}\Bigr|+C
- ∫\frac{dx}{\sqrt{x2+3x+2}}=\ln\Bigl|x+\tfrac{3}{2}+\sqrt{x2+3x+2}\Bigr|+C
- ∫\frac{dx}{\sqrt{x2+2x-3}}=\ln\Bigl|x+1+\sqrt{x2+2x-3}\Bigr|+C