3- Calcule a integral indefinida:
ll integral 2 d xsen x+tg x & integral d x4+5 cos x integral d x3+cos x & integral d x1-cos x integral 1+cos x1-sen x d x & integral d x3+sen 2 x integral cos (2 t-1)2-cos (2 t-1) d t & integral d t3+sen t+cos t integral e^x d x4 sen e^x-3 cos e^x & integral cos theta d theta1+cos theta integral d xx raiz5 x-x^2-6 & integral d x(x+4) raizx^2+4 x+9 integral d xx raiz4 x^2+x-3 & integral d xraiz1+x+x^2 integral d xx raiz2+x-x^2 & integral x+1(2 x+x^2) raiz2 x+x^2 d x integral d x(x-1) raizx^2-2 x-3 & integral 1-raiz1+x+x^22 x^2 raiz1+x+x^2 d x integral d xraizx^2+3 x+2 & integral d xraizx^2+2 x-3

Passo 1

Nesse exercício temos uma coleção de 20 integrais indefinidas envolvendo funções trigonométricas e expressões algébricas com raízes quadradas. Para resolvê-las, vamos agrupar por tipo de integranda e aplicar as técnicas adequadas: substiuição de Weierstrass (t = tan(x/2)) para funções racionais em sen x e cos x, identidades trigonométricas diretas, substituições algébricas ou trigonométricas para raízes quadráticas e substituições simples quando aparecer e^x.

Passo 2

Para as integrais da forma integral dxa + b cos x usamos t = tan(x/2), com sen x = 2t/(1+t^2), cos x = (1–t2)/(1+t2) e dx = 2 dt/(1+t^2).
Para as integrais com 1cos x ou 1+cos x usamos identidades como 1–cos x = 2 sin^2(x/2) e 1+cos x = 2 cos^2(x/2), levando a substituições trigonométricas diretas.
Para as integrais com raiz quadrada de polinômio ax^2+bx+c completamos o quadrado e aplicamos substituições trigonométricas (ou hiperbólicas) adequadas ao sinal de a e à forma do discriminante.
Para as integrais envolvendo e^x em função trigonométrica de e^x, fazemos u=e^x, transformando a integral em função racional de sen u e cos u – seguida da mesma técnica de Weierstrass.

Passo 3

A seguir, apresento as antiderivadas obtidas para cada uma das 20 integrais.

Resposta

  1. ∫\frac{2}{\sin x+\tan x}dx=2\ln\bigl|\tan\frac x2\bigr|+C
  2. ∫\frac{dx}{4+5\cos x}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan\Bigl(\sqrt{3}\tan\frac x2\Bigr)+C
  3. ∫\frac{dx}{3+\cos x}=\frac{2}{\sqrt{8}}\arctan\Bigl(\sqrt{\tfrac{1}{2}}\tan\frac x2\Bigr)+C
  4. ∫\frac{dx}{1-\cos x}=-\cot\frac x2+C
  5. ∫\frac{1+\cos x}{1-\sin x}dx=\ln\Bigl|\frac{1-\sin x}{1+\cos x}\Bigr|+C
  6. ∫\frac{dx}{3+\sin2x}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\Bigl|\frac{\tan x-1+\sqrt{2}}{\tan x-1-\sqrt{2}}\Bigr|+C
  7. ∫\frac{\cos(2t-1)}{2-\cos(2t-1)}dt= t-\sqrt{3}\arctan\Bigl(\frac{\tan(t-\tfrac12)}{\sqrt{3}}\Bigr)+C
  8. ∫\frac{dt}{3+\sin t+\cos t}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\Bigl|\frac{\tan(\tfrac t2+\tfrac{\pi}{8})}{\tan(\tfrac t2-\tfrac{\pi}{8})}\Bigr|+C
  9. ∫\frac{e^x}{4\sin e^x-3\cos e^x}dx=\ln\bigl|4\sin e^x-3\cos e^x\bigr|+C
  10. ∫\frac{\cos\theta}{1+\cos\theta}d\theta=\theta-2\tan\frac{\theta}{2}+C
  11. ∫\frac{dx}{x\sqrt{5x-x^2-6}}=-\frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{3-2x+2\sqrt{x(5-x)-6}}{x}\Bigr|+C
  12. ∫\frac{dx}{(x+4)\sqrt{x2+4x+9}}=\frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{x+4-\sqrt{x2+4x+9}}{x+4+\sqrt{x^2+4x+9}}\Bigr|+C
  13. ∫\frac{dx}{x\sqrt{4x2+x-3}}=\frac{1}{\sqrt{13}}\ln\Bigl|\frac{4x-1-2\sqrt{4x2+x-3}}{x}\Bigr|+C
  14. ∫\frac{dx}{\sqrt{1+x+x2}}=\ln\Bigl|2x+1+2\sqrt{1+x+x2}\Bigr|+C
  15. ∫\frac{dx}{x\sqrt{2+x-x2}}=-\ln\Bigl|\frac{x+\sqrt{2+x-x2}}{x}\Bigr|+C
  16. ∫\frac{x+1}{(2x+x2)\sqrt{2x+x2}}dx=-\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\Bigl|\frac{\sqrt{2x+x2}-\sqrt{2}}{\sqrt{2x+x2}+\sqrt{2}}\Bigr|+C
  17. ∫\frac{dx}{(x-1)\sqrt{x2-2x-3}}=\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{x-1-\sqrt{x2-2x-3}}{x-1+\sqrt{x^2-2x-3}}\Bigr|+C
  18. ∫\frac{1-\sqrt{1+x+x2}}{2x2\sqrt{1+x+x2}}dx=\frac{1}{x}-\ln\Bigl|\frac{1+2x-\sqrt{1+x+x2}}{x}\Bigr|+C
  19. ∫\frac{dx}{\sqrt{x2+3x+2}}=\ln\Bigl|x+\tfrac{3}{2}+\sqrt{x2+3x+2}\Bigr|+C
  20. ∫\frac{dx}{\sqrt{x2+2x-3}}=\ln\Bigl|x+1+\sqrt{x2+2x-3}\Bigr|+C

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